Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \left(2\,x + 1\right)^{2}$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x + 1\right)^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x + 1$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x + 1\right)^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\left(2\,x + 1\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x + 1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x + 1\right)^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(2\,x + 1\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x + 1\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x + 1\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x + 1\right]}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $\left(2\,x + 1\right)^{1} \;\Longrightarrow\; 2\,x + 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 1\right)^{1}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x + 1\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 1\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x + 1\right]}$$
Schritt 5 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 2\,x$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x + 1\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 6 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Faktorregel
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)\,\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)\,\left(2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 8 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 9 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)\,\left(2 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)\,\left(2 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)$$
Schritt 10 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $2 + 0 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 + 0\right)\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}$$
Schritt 11 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}} \cdot 2\,\left(2\,x + 1\right) \cdot 2\,}}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}}\,\left(2\,x + 1\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$4\,\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}}\,\left(2\,x + 1\right)$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$4\,\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}}\,\left(2\,x + 1\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt