Wurzel ableiten – Übungen mit Lösungen
Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenem Exponenten. Mit √x = x^(1/2) und der Potenzregel – und bei Wurzeln aus Termen der Kettenregel – leitest du jede Wurzelfunktion ab.
📖 Die Regel
$$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \big(\sqrt{g(x)}\big)' = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}, \qquad (\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n}\,x^{\frac{1}{n}-1}$$
Im Zweifel umschreiben: ∛x = x^(1/3), 1/√x = x^(−1/2). Ausführliche Erklärung mit Beispielen
So übst du hier
- Rechne f'(x) auf Papier aus.
- Tipp dein Ergebnis ins Feld und klick auf Prüfen – jede gleichwertige Schreibweise zählt als richtig.
- Unter Lösung anzeigen steht das Ergebnis, unter Rechner der ganze Lösungsweg Schritt für Schritt.
- Jede Aufgabe hat einen Formel-Code. Er steht auch auf dem PDF-Arbeitsblatt und wird unter ableitungsrechner.org/c eingegeben.
Direkt zu: Leicht Mittel Schwer Arbeitsblatt (PDF)
✏️ Leichte Aufgaben
Quadrat- und n-te Wurzeln von x mit Faktoren und Summen.
- $f(x) = \sqrt{x}$$f'(x) = \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 3\,\sqrt{x}$$f'(x) = \frac{3}{2\,\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x} + x$$f'(x) = \frac{1}{2\,\sqrt{x}} + 1$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[3]{x}$$f'(x) = \frac{1}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 2\,\sqrt{x} - x^{2}$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - 2\,x$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[4]{x}$$f'(x) = \frac{1}{4\,x^{\frac{3}{4}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$f'(x) = -\frac{1}{2\,x^{\frac{3}{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x^{3}}$$f'(x) = \frac{3\,x^{2}}{2\,\sqrt{x^{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 4\,\sqrt[3]{x}$$f'(x) = \frac{4}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x} - \sqrt[3]{x}$$f'(x) = \frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \frac{1}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[5]{x}$$f'(x) = \frac{1}{5\,x^{\frac{4}{5}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x + 2\,\sqrt{x}$$f'(x) = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x^{5}}$$f'(x) = \frac{5\,x^{4}}{2\,\sqrt{x^{5}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 6\,\sqrt[6]{x}$$f'(x) = \frac{1}{x^{\frac{5}{6}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 5\,\sqrt{x} + 1$$f'(x) = \frac{5}{2\,\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🔥 Mittelschwere Aufgaben
Wurzeln aus Termen wie 2x + 1 oder x² + 1: Kettenregel.
- $f(x) = \sqrt{2\,x}$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\,x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x + 1}$$f'(x) = \frac{1}{2\,\sqrt{x + 1}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{3\,x - 2}$$f'(x) = \frac{3}{2\,\sqrt{3\,x - 2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x^{2} + 1}$$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[3]{x^{2}}$$f'(x) = \frac{2\,x}{3\,\left(x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{2}{3\,x^{\frac{1}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\sqrt{x}$$f'(x) = \frac{3}{2}\,\sqrt{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{1 - x}$$f'(x) = -\frac{1}{2\,\sqrt{1 - x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[3]{2\,x + 1}$$f'(x) = \frac{2}{3\,\left(2\,x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 4}}$$f'(x) = -\frac{1}{2\,\left(x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{4 - x^{2}}$$f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x^{2} - 2\,x}$$f'(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2\,x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[3]{x^{3} + 1}$$f'(x) = \frac{x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\sqrt{x}$$f'(x) = \frac{5}{2}\,x^{\frac{3}{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{\mathrm{e}^{x}}$$f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{\mathrm{e}^{x}}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}}{2}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{5\,x} + \sqrt{x}$$f'(x) = \frac{5}{2\,\sqrt{5\,x}} + \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🚀 Schwere Aufgaben
Wurzeln in Produkten, Quotienten und verschachtelten Termen.
- $f(x) = x\,\sqrt{x^{2} + 1}$$f'(x) = \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$$f'(x) = \frac{\frac{x + 1}{2\,\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}\,\left(x - 1\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{\sin\left(x\right)}$$f'(x) = \frac{\cos\left(x\right)}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x}\,\ln\left(x\right)$$f'(x) = \frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$$f'(x) = -\frac{x}{\left(x^{2} + 9\right)^{\frac{3}{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x + \sqrt{x}}$$f'(x) = \frac{1 + \frac{1}{2\,\sqrt{x}}}{2\,\sqrt{x + \sqrt{x}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[3]{x^{2} + x}$$f'(x) = \frac{2\,x + 1}{3\,\left(x^{2} + x\right)^{\frac{2}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$f'(x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)^{2}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 2\,x^{2} + 1}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}$$f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}$$f'(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{\ln\left(x^{2}\right)}$$f'(x) = \frac{1}{x\,\sqrt{\ln\left(x^{2}\right)}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x}\,\mathrm{e}^{x}$$f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\mathrm{e}^{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[3]{\left(2\,x - 1\right)^{2}}$$f'(x) = \frac{8\,x - 4}{3\,\left(\left(2\,x - 1\right)^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{4}{3\,\left(2\,x - 1\right)^{\frac{1}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x^{4} + x^{2}}$$f'(x) = \frac{2\,x^{3} + x}{\sqrt{x^{4} + x^{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
⚠️ Typische Fehler
- Die 2 im Nenner nicht vergessen: (√x)' = 1/(2√x).
- Bei √(x² + 1) gehört die innere Ableitung 2x in den Zähler: x/√(x² + 1).
- 1/√x ist x^(−1/2), die Ableitung ist −1/(2x√x).
🖨️ Arbeitsblatt zum Ausdrucken
Alle Aufgaben dieser Seite gibt es als PDF mit Lösungsblatt. Neben jeder Aufgabe steht ihr Formel-Code – damit holst du die Aufgabe ohne Abtippen in den Rechner und kannst deine Lösung prüfen.