Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sqrt{x}\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\,\ln\left(x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \sqrt{x}$
  • $v = \ln\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\,\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Quadratwurzel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\ln\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\ln\left(x\right)\,}}} + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}}\,}}} + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Schritt 5 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{\sqrt{x}}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\sqrt{x}}{x}\,}}}$$
Schritt 6 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{\sqrt{x}}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\sqrt{x}}{x}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}}\,}}}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $1 - \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1 - \frac{1}{2}\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2}\,}}}}}$$
Schritt 8 — Exponent ½ als Wurzel schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit dem Exponenten ½ ist die Quadratwurzel der Basis.

Nur der geänderte Teil: $x^{\frac{1}{2}} \;\Longrightarrow\; \sqrt{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \frac{1}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{\frac{1}{2}}\,}}}}$$
✨ Nach Exponent ½ als Wurzel schreiben
$$\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \frac{1}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{x}\,}}}}$$
Endergebnis
$$\frac{\ln\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\log\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt