Potenzregel – Übungen mit Lösungen
Mit der Potenzregel leitest du jede Potenz von x ab: Exponent nach vorne, Exponent um eins verringern. Hier übst du sie mit ganzen, negativen und gebrochenen Exponenten und mit Wurzeln, die du vorher in Potenzen umschreibst.
📖 Die Regel
$$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$$
Die Regel gilt für jeden reellen Exponenten n – also auch für n = −2 oder n = 1/2. Ausführliche Erklärung mit Beispielen
So übst du hier
- Rechne f'(x) auf Papier aus.
- Tipp dein Ergebnis ins Feld und klick auf Prüfen – jede gleichwertige Schreibweise zählt als richtig.
- Unter Lösung anzeigen steht das Ergebnis, unter Rechner der ganze Lösungsweg Schritt für Schritt.
- Jede Aufgabe hat einen Formel-Code. Er steht auch auf dem PDF-Arbeitsblatt und wird unter ableitungsrechner.org/c eingegeben.
Direkt zu: Leicht Mittel Schwer Arbeitsblatt (PDF)
✏️ Leichte Aufgaben
Potenzen mit natürlichen Exponenten: Exponent nach vorne, Exponent minus eins.
- $f(x) = x^{4}$$f'(x) = 4\,x^{3}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{7}$$f'(x) = 7\,x^{6}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}$$f'(x) = 2\,x$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{10}$$f'(x) = 10\,x^{9}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{3}$$f'(x) = 3\,x^{2}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{12}$$f'(x) = 12\,x^{11}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{5}$$f'(x) = 5\,x^{4}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{9}$$f'(x) = 9\,x^{8}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{6}$$f'(x) = 6\,x^{5}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{20}$$f'(x) = 20\,x^{19}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{8}$$f'(x) = 8\,x^{7}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{15}$$f'(x) = 15\,x^{14}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{11}$$f'(x) = 11\,x^{10}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{100}$$f'(x) = 100\,x^{99}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{50}$$f'(x) = 50\,x^{49}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🔥 Mittelschwere Aufgaben
Negative und gebrochene Exponenten, Brüche wie 1/x³ schreibst du als x⁻³.
- $f(x) = x^{-2}$$f'(x) = -\frac{2}{x^{3}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{-5}$$f'(x) = -\frac{5}{x^{6}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{x}$$f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{x^{3}}$$f'(x) = -\frac{3}{x^{4}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$$f'(x) = \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{\frac{3}{4}}$$f'(x) = \frac{3}{4\,x^{\frac{1}{4}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$$f'(x) = -\frac{1}{3\,x^{\frac{4}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$$f'(x) = \frac{2}{3\,x^{\frac{1}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{x^{7}}$$f'(x) = -\frac{7}{x^{8}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$$f'(x) = \frac{5}{2}\,x^{\frac{3}{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{-\frac{3}{2}}$$f'(x) = -\frac{3}{2\,x^{\frac{5}{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{x^{4}}$$f'(x) = -\frac{4}{x^{5}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{\frac{7}{3}}$$f'(x) = \frac{7}{3}\,x^{\frac{4}{3}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{-4}$$f'(x) = -\frac{4}{x^{5}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{\frac{1}{5}}$$f'(x) = \frac{1}{5\,x^{\frac{4}{5}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🚀 Schwere Aufgaben
Wurzeln und Produkte von Potenzen: erst in eine einzige Potenz von x umschreiben, dann ableiten.
- $f(x) = \sqrt{x}$$f'(x) = \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[3]{x}$$f'(x) = \frac{1}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$f'(x) = -\frac{1}{2\,x^{\frac{3}{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x^{3}}$$f'(x) = \frac{3\,x^{2}}{2\,\sqrt{x^{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[3]{x^{2}}$$f'(x) = \frac{2\,x}{3\,\left(x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{2}{3\,x^{\frac{1}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\sqrt{x}$$f'(x) = \frac{3}{2}\,\sqrt{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\sqrt[3]{x}$$f'(x) = 2\,x\,\sqrt[3]{x} + \frac{1}{3}\,x^{\frac{4}{3}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{7\,x^{\frac{4}{3}}}{3}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$$f'(x) = -\frac{1}{4\,x^{\frac{5}{4}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[4]{x^{5}}$$f'(x) = \frac{5\,x^{4}}{4\,\left(x^{5}\right)^{\frac{3}{4}}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{5\,x^{\frac{1}{4}}}{4}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{x}}$$f'(x) = -\frac{5}{2\,x^{\frac{7}{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x^{5}}$$f'(x) = \frac{5\,x^{4}}{2\,\sqrt{x^{5}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[5]{x}$$f'(x) = \frac{1}{5\,x^{\frac{4}{5}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$$f'(x) = -\frac{2\,x}{3\,\left(x^{2}\right)^{\frac{4}{3}}}$vereinfacht: $f'(x) = -\frac{2}{3\,x^{\frac{5}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{3}\,\sqrt{x}$$f'(x) = \frac{7}{2}\,x^{\frac{5}{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{\sqrt{x}}$$f'(x) = \frac{1}{4\,\sqrt{x}\,\sqrt{\sqrt{x}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
⚠️ Typische Fehler
- Bei negativen Exponenten wird der Exponent kleiner: aus x⁻² wird −2·x⁻³, nicht −2·x⁻¹.
- Wurzeln vor dem Ableiten umschreiben: √x = x^(1/2), ∛x² = x^(2/3).
- Brüche umschreiben: 1/x⁴ = x⁻⁴. Die Ableitung ist −4·x⁻⁵ = −4/x⁵.
- Die Ableitung von x ist 1, die Ableitung einer Zahl ist 0.
🖨️ Arbeitsblatt zum Ausdrucken
Alle Aufgaben dieser Seite gibt es als PDF mit Lösungsblatt. Neben jeder Aufgabe steht ihr Formel-Code – damit holst du die Aufgabe ohne Abtippen in den Rechner und kannst deine Lösung prüfen.