Produkt- und Kettenregel kombiniert – Übungen
Typisch für Klausur und Abitur: ein Produkt, dessen Faktoren selbst verkettet sind. Erst die Produktregel ansetzen, dann jeden Faktor – wenn nötig mit der Kettenregel – ableiten.
📖 Die Regel
$$\big(u \cdot v\big)' = u'\cdot v + u \cdot v', \quad v = g(h(x)) \Rightarrow v' = g'(h(x))\cdot h'(x)$$
Schreib dir u, v, u' und v' zuerst einzeln auf, dann setzt du in die Produktregel ein. Ausführliche Erklärung mit Beispielen
So übst du hier
- Rechne f'(x) auf Papier aus.
- Tipp dein Ergebnis ins Feld und klick auf Prüfen – jede gleichwertige Schreibweise zählt als richtig.
- Unter Lösung anzeigen steht das Ergebnis, unter Rechner der ganze Lösungsweg Schritt für Schritt.
- Jede Aufgabe hat einen Formel-Code. Er steht auch auf dem PDF-Arbeitsblatt und wird unter ableitungsrechner.org/c eingegeben.
Direkt zu: Leicht Mittel Schwer Arbeitsblatt (PDF)
✏️ Leichte Aufgaben
Ein Faktor ist eine Potenz von x, der andere eine einfache Verkettung mit linearer innerer Funktion.
- $f(x) = x\,\mathrm{e}^{2\,x}$$f'(x) = \mathrm{e}^{2\,x} + 2\,x\,\mathrm{e}^{2\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\sin\left(3\,x\right)$$f'(x) = \sin\left(3\,x\right) + 3\,x\,\cos\left(3\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}$$f'(x) = 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\left(x + 1\right)^{3}$$f'(x) = \left(x + 1\right)^{3} + 3\,x\,\left(x + 1\right)^{2}$vereinfacht: $f'(x) = 4\,x^{3} + 9\,x^{2} + 6\,x + 1$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\cos\left(2\,x\right)$$f'(x) = \cos\left(2\,x\right) - 2\,x\,\sin\left(2\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\sqrt{x + 1}$$f'(x) = \sqrt{x + 1} + \frac{x}{2\,\sqrt{x + 1}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\sin\left(2\,x\right)$$f'(x) = 2\,x\,\sin\left(2\,x\right) + 2\,x^{2}\,\cos\left(2\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right)$$f'(x) = \mathrm{e}^{x}\,\sin\left(2\,x\right) + 2\,\mathrm{e}^{x}\,\cos\left(2\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\ln\left(2\,x\right)$$f'(x) = \ln\left(2\,x\right) + 1$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{3}\,\mathrm{e}^{4\,x}$$f'(x) = 3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{4\,x} + 4\,x^{3}\,\mathrm{e}^{4\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\left(2\,x - 1\right)^{2}$$f'(x) = 12\,x^{2} - 8\,x + 1$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x}$$f'(x) = \cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + 2\,\sin\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\mathrm{e}^{-3\,x}$$f'(x) = \mathrm{e}^{-3\,x} - 3\,x\,\mathrm{e}^{-3\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)$$f'(x) = 2\,\left(\cos\left(x^{2}\right) - 2\,x^{2}\,\sin\left(x^{2}\right)\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\left(1 - x\right)^{4}$$f'(x) = \left(1 - x\right)^{4} - 4\,x\,\left(1 - x\right)^{3}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🔥 Mittelschwere Aufgaben
Innere Funktionen wie x² oder x² + 1, zwei verkettete Faktoren.
- $f(x) = x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}}$$f'(x) = 2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + 2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{x^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\sin\left(x^{2}\right)$$f'(x) = \sin\left(x^{2}\right) + 2\,x^{2}\,\cos\left(x^{2}\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{2\,x}\,\cos\left(3\,x\right)$$f'(x) = 2\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\cos\left(3\,x\right) - 3\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(3\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\sqrt{1 - x}$$f'(x) = 2\,x\,\sqrt{1 - x} - \frac{x^{2}}{2\,\sqrt{1 - x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(x + 1\right)^{2}\,\left(x - 1\right)^{3}$$f'(x) = 2\,x\,\left(x - 1\right)^{3} + 2\,\left(x - 1\right)^{3} + 3\,\left(x + 1\right)^{2}\,\left(x - 1\right)^{2}$vereinfacht: $f'(x) = 5\,x^{4} - 4\,x^{3} - 6\,x^{2} + 4\,x + 1$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\ln\left(x^{2} + 1\right)$$f'(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right) + \frac{2\,x^{2}}{x^{2} + 1}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(2\,x\right)\,\cos\left(3\,x\right)$$f'(x) = 2\,\cos\left(2\,x\right)\,\cos\left(3\,x\right) - 3\,\sin\left(2\,x\right)\,\sin\left(3\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$$f'(x) = 3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} - 2\,x^{4}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x}\,\sin\left(2\,x\right)$$f'(x) = \frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + 2\,\sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}$$f'(x) = -\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 4\,x\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)$vereinfacht: $f'(x) = -\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{4} - 4\,x^{3} + 2\,x^{2} - 4\,x + 1\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\left(x^{2} + 1\right)^{5}$$f'(x) = \left(x^{2} + 1\right)^{5} + 10\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right)^{4}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x}$$f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{x} + 2\,\ln\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\cos\left(\frac{1}{x}\right)$$f'(x) = 2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \sin\left(\frac{1}{x}\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(2\,x + 1\right)\,\sqrt{x^{2} + 1}$$f'(x) = 2\,\sqrt{x^{2} + 1} + \frac{x\,\left(2\,x + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\tan\left(2\,x\right)$$f'(x) = \tan\left(2\,x\right) + \frac{2\,x}{\cos\left(2\,x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🚀 Schwere Aufgaben
Drei Faktoren, mehrfach verkettete Faktoren und Logarithmen.
- $f(x) = x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}$$f'(x) = \left(2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right)\right)\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\sin\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{-x^{2}}\,\sin\left(2\,x\right)$$f'(x) = -2\,x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + 2\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\cos\left(2\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}$$f'(x) = \mathrm{e}^{\sin\left(x\right)} + x\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x}\,\ln\left(x^{2} + 1\right)$$f'(x) = \frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{2\,\sqrt{x}} + \frac{2\,x^{\frac{3}{2}}}{x^{2} + 1}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(x^{2} + 1\right)^{3}\,\mathrm{e}^{-x}$$f'(x) = 6\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - \left(x^{2} + 1\right)^{3}\,\mathrm{e}^{-x}$vereinfacht: $f'(x) = -\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}\,\left(x^{2} - 6\,x + 1\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\arctan\left(x^{2}\right)$$f'(x) = \arctan\left(x^{2}\right) + \frac{2\,x^{2}}{1 + x^{4}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x}$$f'(x) = 2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + 2\,\sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right)$$f'(x) = 2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) - \frac{x^{2}\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right)$$f'(x) = 2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) - 2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\sin\left(x^{2}\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(3\,x - 2\right)^{4}\,\left(x + 1\right)^{3}$$f'(x) = 12\,\left(3\,x - 2\right)^{3}\,\left(x + 1\right)^{3} + 3\,\left(3\,x - 2\right)^{4}\,\left(x + 1\right)^{2}$vereinfacht: $f'(x) = 567\,x^{6} + 162\,x^{5} - 945\,x^{4} - 60\,x^{3} + 480\,x^{2} - 48\,x - 48$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\sqrt{\sin\left(x\right)}$$f'(x) = \sqrt{\sin\left(x\right)} + \frac{x\,\cos\left(x\right)}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x\right)\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right)$$f'(x) = \frac{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}{x} + \frac{\ln\left(x\right)\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\sin\left(x\right)$$f'(x) = \left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} - 2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}}$$f'(x) = -\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \frac{x\,\cos\left(x\right)}{\sqrt{1 + x^{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{2\,x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)$$f'(x) = \mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(x\right) + 3\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
⚠️ Typische Fehler
- Erst die Struktur bestimmen: Ist das Ganze ein Produkt? Dann zuerst die Produktregel.
- Bei v = e^(2x) ist v' = 2e^(2x) – die innere Ableitung gehört zu v'.
- Am Ende gemeinsame Faktoren wie e^(2x) ausklammern.
🖨️ Arbeitsblatt zum Ausdrucken
Alle Aufgaben dieser Seite gibt es als PDF mit Lösungsblatt. Neben jeder Aufgabe steht ihr Formel-Code – damit holst du die Aufgabe ohne Abtippen in den Rechner und kannst deine Lösung prüfen.