Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\ln\left(x\right)\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x\right)$
  • $v = \sin\left(\ln\left(x\right)\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{x}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; \frac{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\,}}} + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}\,}}} + \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des Sinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(u\right)=\cos\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(\ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}{x} + \ln\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$\frac{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}{x} + \ln\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}{x} + \ln\left(x\right)\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}{x} + \ln\left(x\right)\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Schritt 6 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\ln\left(x\right)\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{\ln\left(x\right)\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{x}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\ln\left(x\right)\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}{x} + \frac{\ln\left(x\right)\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\sin\left(\log\left(x\right)\right)}{x} + \frac{\log\left(x\right)\,\cos\left(\log\left(x\right)\right)}{x}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt