sin, cos und tan ableiten – Übungen
Sinus wird Kosinus, Kosinus wird minus Sinus. Hier übst du die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen – zuerst einzeln, dann mit Kettenregel, Produkten und Quotienten.
📖 Die Regel
$$(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x, \qquad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$$
Achtung beim Vorzeichen: Nur die Ableitung des Kosinus hat ein Minus. Ausführliche Erklärung mit Beispielen
So übst du hier
- Rechne f'(x) auf Papier aus.
- Tipp dein Ergebnis ins Feld und klick auf Prüfen – jede gleichwertige Schreibweise zählt als richtig.
- Unter Lösung anzeigen steht das Ergebnis, unter Rechner der ganze Lösungsweg Schritt für Schritt.
- Jede Aufgabe hat einen Formel-Code. Er steht auch auf dem PDF-Arbeitsblatt und wird unter ableitungsrechner.org/c eingegeben.
Direkt zu: Leicht Mittel Schwer Arbeitsblatt (PDF)
✏️ Leichte Aufgaben
sin, cos und tan mit Faktoren und Summen.
- $f(x) = \sin\left(x\right)$$f'(x) = \cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(x\right)$$f'(x) = -\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 3\,\sin\left(x\right)$$f'(x) = 3\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = -2\,\cos\left(x\right)$$f'(x) = 2\,\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)$$f'(x) = \cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \tan\left(x\right)$$f'(x) = \frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 4\,\cos\left(x\right) + x^{2}$$f'(x) = -4\,\sin\left(x\right) + 2\,x$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x\right) - x$$f'(x) = \cos\left(x\right) - 1$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 5\,\tan\left(x\right)$$f'(x) = \frac{5}{\cos\left(x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{2}\,\sin\left(x\right)$$f'(x) = \frac{1}{2}\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)$$f'(x) = -\sin\left(x\right) - \cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 2\,\sin\left(x\right) + 3\,\cos\left(x\right)$$f'(x) = 2\,\cos\left(x\right) - 3\,\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{3} - \cos\left(x\right)$$f'(x) = 3\,x^{2} + \sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = -\sin\left(x\right)$$f'(x) = -\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x\right) + \tan\left(x\right)$$f'(x) = \cos\left(x\right) + \frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🔥 Mittelschwere Aufgaben
Innere Funktionen wie 2x oder x², Quadrate wie (sin x)² und einfache Produkte.
- $f(x) = \sin\left(2\,x\right)$$f'(x) = 2\,\cos\left(2\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(3\,x\right)$$f'(x) = -3\,\sin\left(3\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x^{2}\right)$$f'(x) = 2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(x + 1\right)$$f'(x) = -\sin\left(x + 1\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \tan\left(4\,x\right)$$f'(x) = \frac{4}{\cos\left(4\,x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x\right)^{2}$$f'(x) = 2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(x\right)^{2}$$f'(x) = -2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\sin\left(x\right)$$f'(x) = \sin\left(x\right) + x\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\cos\left(x\right)$$f'(x) = \cos\left(x\right) - x\,\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)$$f'(x) = \cos\left(x\right)^{2} - \sin\left(x\right)^{2}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(\pi\,x\right)$$f'(x) = \pi\,\cos\left(\pi\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$$f'(x) = -\frac{1}{2}\,\sin\left(\frac{x}{2}\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 3\,\sin\left(2\,x - 1\right)$$f'(x) = 6\,\cos\left(2\,x - 1\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\sin\left(x\right)}{x}$$f'(x) = \frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \tan\left(x\right)^{2}$$f'(x) = \frac{2\,\tan\left(x\right)}{\cos\left(x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🚀 Schwere Aufgaben
Verkettungen, Quotienten und Kombinationen mit eˣ und ln.
- $f(x) = \sin\left(x\right)^{2} + \cos\left(x\right)^{2}$$f'(x) = 0$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\sin\left(3\,x\right)$$f'(x) = 2\,x\,\sin\left(3\,x\right) + 3\,x^{2}\,\cos\left(3\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(\cos\left(x\right)\right)$$f'(x) = -\cos\left(\cos\left(x\right)\right)\,\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\cos\left(x\right)}{1 + \sin\left(x\right)}$$f'(x) = \frac{-\sin\left(x\right) - \sin\left(x\right)^{2} - \cos\left(x\right)^{2}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \tan\left(x^{2}\right)$$f'(x) = \frac{2\,x}{\cos\left(x^{2}\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(2\,x\right)^{3}$$f'(x) = 6\,\sin\left(2\,x\right)^{2}\,\cos\left(2\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{2\,x}\,\cos\left(x\right)$$f'(x) = 2\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\cos\left(2\,x\right)\right)$$f'(x) = -\frac{2\,\sin\left(2\,x\right)}{\cos\left(2\,x\right)}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{\cos\left(x\right)}$$f'(x) = -\frac{\sin\left(x\right)}{2\,\sqrt{\cos\left(x\right)}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{\cos\left(x\right)}$$f'(x) = \frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$$f'(x) = \frac{\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{\sin\left(x\right)^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} + 1$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)$$f'(x) = -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}$$f'(x) = -\mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}\,\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(3\,x\right)\,\cos\left(x\right)$$f'(x) = 3\,\cos\left(3\,x\right)\,\cos\left(x\right) - \sin\left(3\,x\right)\,\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\tan\left(x\right)$$f'(x) = \tan\left(x\right) + \frac{x}{\cos\left(x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
⚠️ Typische Fehler
- (cos x)' = −sin x – das Minus gehört dazu.
- (sin(2x))' = 2·cos(2x): die innere Ableitung 2 nicht vergessen.
- (sin x)² abgeleitet ist 2·sin(x)·cos(x) – das ist auch sin(2x).
- sin²x + cos²x = 1, also ist die Ableitung 0.
🖨️ Arbeitsblatt zum Ausdrucken
Alle Aufgaben dieser Seite gibt es als PDF mit Lösungsblatt. Neben jeder Aufgabe steht ihr Formel-Code – damit holst du die Aufgabe ohne Abtippen in den Rechner und kannst deine Lösung prüfen.