Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(u\right)=-\sin\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \frac{x}{2}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Durch eine Konstante teilen Umformung
📖 Regel
$$\frac{u}{c}=\frac{1}{c}\cdot u\quad(c\ne0)$$

Warum dieser Schritt? Teilen durch eine Konstante entspricht dem Multiplizieren mit ihrem Kehrwert. Wir schreiben diesen Faktor zunächst ausdrücklich hin. Erst im nächsten Schritt wenden wir die Faktorregel an.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{2}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Durch eine Konstante teilen
$$-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = \frac{1}{2}$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\,\frac{1}{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\,\frac{1}{2} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 5 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{2} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2} \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$-\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2}\,}}}$$
Schritt 6 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{2}\,\sin\left(\frac{x}{2}\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$-\frac{1}{2}\,\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt