Zweite Ableitung – Übungen mit Lösungen
Für Wendepunkte und Krümmung brauchst du die zweite Ableitung: Du leitest die erste Ableitung noch einmal ab. Gesucht ist hier jeweils f''(x).
📖 Die Regel
$$f''(x) = \big(f'(x)\big)'$$
Erst f'(x) bilden und vereinfachen, dann noch einmal ableiten. Gemeinsame Faktoren vorher ausklammern spart Arbeit. Ausführliche Erklärung mit Beispielen
So übst du hier
- Rechne f''(x) auf Papier aus.
- Tipp dein Ergebnis ins Feld und klick auf Prüfen – jede gleichwertige Schreibweise zählt als richtig.
- Unter Lösung anzeigen steht das Ergebnis, unter Rechner der ganze Lösungsweg Schritt für Schritt.
- Jede Aufgabe hat einen Formel-Code. Er steht auch auf dem PDF-Arbeitsblatt und wird unter ableitungsrechner.org/c eingegeben.
Direkt zu: Leicht Mittel Schwer Arbeitsblatt (PDF)
✏️ Leichte Aufgaben
Polynome: zweimal die Potenzregel.
- $f(x) = x^{4}$
- $f(x) = 3\,x^{3} - 2\,x^{2}$
- $f(x) = x^{5} + x$
- $f(x) = 2\,x^{3} + 4\,x$
- $f(x) = x^{6} - 3\,x^{2} + 1$
- $f(x) = -x^{4} + 2\,x^{3}$
- $f(x) = 5\,x^{2} - 7\,x + 3$
- $f(x) = x^{3} - x$
- $f(x) = \frac{1}{4}\,x^{4} - x^{2}$
- $f(x) = x^{7}$
- $f(x) = 4\,x^{3} - 6\,x$
- $f(x) = x^{4} + x^{3} + x^{2}$
- $f(x) = 10\,x^{2}$
- $f(x) = -2\,x^{5} + x$
- $f(x) = \frac{1}{6}\,x^{3} + x$
🔥 Mittelschwere Aufgaben
Grundfunktionen und einfache Produkte.
- $f(x) = \sin\left(x\right)$
- $f(x) = \cos\left(x\right)$
- $f(x) = \mathrm{e}^{x}$
- $f(x) = \mathrm{e}^{2\,x}$
- $f(x) = \ln\left(x\right)$
- $f(x) = \sqrt{x}$$f'(x) = \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$f''(x) = -\frac{1}{4\,\sqrt{x}\,\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$vereinfacht: $f''(x) = -\frac{1}{4\,x^{\frac{3}{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{x}$
- $f(x) = \frac{1}{x^{2}}$
- $f(x) = \sin\left(2\,x\right)$$f'(x) = 2\,\cos\left(2\,x\right)$$f''(x) = -4\,\sin\left(2\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(3\,x\right)$$f'(x) = -3\,\sin\left(3\,x\right)$$f''(x) = -9\,\cos\left(3\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{-x}$
- $f(x) = x\,\mathrm{e}^{x}$$f'(x) = \mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x}$$f''(x) = 2\,\mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\ln\left(x\right)$
- $f(x) = \left(2\,x + 1\right)^{3}$
- $f(x) = x^{2} + \sin\left(x\right)$$f'(x) = 2\,x + \cos\left(x\right)$$f''(x) = 2 - \sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🚀 Schwere Aufgaben
Produkte, Quotienten und Verkettungen – die erste Ableitung ist schon aufwendig.
- $f(x) = x^{2}\,\mathrm{e}^{x}$$f'(x) = 2\,x\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\mathrm{e}^{x}$$f''(x) = 2\,\mathrm{e}^{x} + 4\,x\,\mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\mathrm{e}^{x}$vereinfacht: $f''(x) = \mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + 4\,x + 2\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{-x}\,\sin\left(x\right)$$f'(x) = -\mathrm{e}^{-x}\,\sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(x\right)$$f''(x) = -2\,\mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\sin\left(x\right)$$f'(x) = \sin\left(x\right) + x\,\cos\left(x\right)$$f''(x) = 2\,\cos\left(x\right) - x\,\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right)$$f'(x) = \frac{2\,x}{x^{2} + 1}$$f''(x) = \frac{-2\,x^{2} + 2}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x^{2} + 1}$$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$f''(x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}$vereinfacht: $f''(x) = \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{x^{2}}$$f'(x) = 2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$$f''(x) = 2\,\left(\mathrm{e}^{x^{2}} + 2\,x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}}\right)$vereinfacht: $f''(x) = 2\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\left(2\,x^{2} + 1\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{x}{x + 1}$$f'(x) = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$f''(x) = -\frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x^{2}\right)$$f'(x) = 2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)$$f''(x) = 2\,\left(\cos\left(x^{2}\right) - 2\,x^{2}\,\sin\left(x^{2}\right)\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \tan\left(x\right)$$f'(x) = \frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$$f''(x) = \frac{2\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)^{3}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\ln\left(x\right)$$f'(x) = 2\,x\,\ln\left(x\right) + x$$f''(x) = 2\,\ln\left(x\right) + 3$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(x^{2} + 1\right)^{4}$$f'(x) = 8\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{3}$$f''(x) = 8\,x^{6} + 24\,x^{4} + 24\,x^{2} + 8 + 48\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}$vereinfacht: $f''(x) = 56\,x^{6} + 120\,x^{4} + 72\,x^{2} + 8$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right)$$f'(x) = \mathrm{e}^{x}\,\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}\,\sin\left(x\right)$$f''(x) = -2\,\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\ln\left(x\right)}{x}$$f'(x) = \frac{1 - \ln\left(x\right)}{x^{2}}$$f''(x) = \frac{-3 + 2\,\ln\left(x\right)}{x^{3}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\mathrm{e}^{-2\,x}$$f'(x) = \mathrm{e}^{-2\,x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x}$$f''(x) = -4\,\mathrm{e}^{-2\,x} + 4\,x\,\mathrm{e}^{-2\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$$f'(x) = -\frac{2\,x}{\left(1 + x^{2}\right)^{2}}$$f''(x) = -\frac{2 - 6\,x^{2}}{\left(1 + x^{2}\right)^{3}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
⚠️ Typische Fehler
- Die erste Ableitung vereinfachen, bevor du sie noch einmal ableitest.
- Bei x·eˣ ist f' = (x+1)·eˣ und f'' = (x+2)·eˣ.
- Im Rechner nach dem Ergebnis auf „Ergebnis erneut ableiten“ klicken, dann siehst du den Weg zu f''.
🖨️ Arbeitsblatt zum Ausdrucken
Alle Aufgaben dieser Seite gibt es als PDF mit Lösungsblatt. Neben jeder Aufgabe steht ihr Formel-Code – damit holst du die Aufgabe ohne Abtippen in den Rechner und kannst deine Lösung prüfen.