Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{-x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = -x$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung eines negativen Terms
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[-x\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 4 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$
Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Endergebnis
$$-\mathrm{e}^{-x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-\mathrm{e}^{-x}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt