ln ableiten – Übungen mit Lösungen
Die Ableitung von ln(x) ist 1/x. Mit Kettenregel wird daraus „innere Ableitung durch innere Funktion“ – hier übst du beides, dazu Produkte wie x·ln(x) und Logarithmen zu anderen Basen.
📖 Die Regel
$$(\ln x)' = \frac{1}{x}, \qquad \big(\ln g(x)\big)' = \frac{g'(x)}{g(x)}, \qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$
Logarithmengesetze vereinfachen oft vorher: ln(x³) = 3·ln(x). Ausführliche Erklärung mit Beispielen
So übst du hier
- Rechne f'(x) auf Papier aus.
- Tipp dein Ergebnis ins Feld und klick auf Prüfen – jede gleichwertige Schreibweise zählt als richtig.
- Unter Lösung anzeigen steht das Ergebnis, unter Rechner der ganze Lösungsweg Schritt für Schritt.
- Jede Aufgabe hat einen Formel-Code. Er steht auch auf dem PDF-Arbeitsblatt und wird unter ableitungsrechner.org/c eingegeben.
Direkt zu: Leicht Mittel Schwer Arbeitsblatt (PDF)
✏️ Leichte Aufgaben
ln(x) mit Faktoren und Summen, ln(ax) und ln(xⁿ).
- $f(x) = \ln\left(x\right)$$f'(x) = \frac{1}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 3\,\ln\left(x\right)$$f'(x) = \frac{3}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x\right) + x^{2}$$f'(x) = \frac{1}{x} + 2\,x$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 2\,\ln\left(x\right) - x$$f'(x) = \frac{2}{x} - 1$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(2\,x\right)$$f'(x) = \frac{1}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(5\,x\right)$$f'(x) = \frac{1}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = -4\,\ln\left(x\right)$$f'(x) = -\frac{4}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}$$f'(x) = \frac{1}{x} + \mathrm{e}^{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x^{2}\right)$$f'(x) = \frac{2}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x^{3}\right)$$f'(x) = \frac{3}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{2}\,\ln\left(x\right)$$f'(x) = \frac{1}{2\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x\right) - \frac{1}{x}$$f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{x + 1}{x^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(7\,x\right)$$f'(x) = \frac{1}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x + \ln\left(x\right)$$f'(x) = 1 + \frac{1}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x\right) + \ln\left(2\right)$$f'(x) = \frac{1}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🔥 Mittelschwere Aufgaben
ln mit inneren Funktionen, Produkte wie x·ln(x) und Logarithmen zur Basis 2 oder 10.
- $f(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right)$$f'(x) = \frac{2\,x}{x^{2} + 1}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(3\,x + 2\right)$$f'(x) = \frac{3}{3\,x + 2}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\ln\left(x\right)$$f'(x) = \ln\left(x\right) + 1$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\ln\left(x\right)$$f'(x) = 2\,x\,\ln\left(x\right) + x$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\ln\left(x\right)}{x}$$f'(x) = \frac{1 - \ln\left(x\right)}{x^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(1 - x\right)$$f'(x) = -\frac{1}{1 - x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\sqrt{x}\right)$$f'(x) = \frac{1}{2\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \log_{2}{\left(x\right)}$$f'(x) = \frac{1}{\ln\left(2\right)\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \log_{10}{\left(x\right)}$$f'(x) = \frac{1}{\ln\left(10\right)\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x\right)^{2}$$f'(x) = \frac{2\,\ln\left(x\right)}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x^{2} - 4\,x\right)$$f'(x) = \frac{2\,x - 4}{x^{2} - 4\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)$$f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\sin\left(x\right)\right)$$f'(x) = \frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\frac{1}{x}\right)$$f'(x) = -\frac{1}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 5\,\ln\left(2\,x - 1\right)$$f'(x) = \frac{10}{2\,x - 1}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🚀 Schwere Aufgaben
Verkettete Logarithmen, Quotienten, Potenzen von ln(x) und xˣ.
- $f(x) = \ln\left(\ln\left(x\right)\right)$$f'(x) = \frac{1}{x\,\ln\left(x\right)}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\cos\left(x\right)\right)$$f'(x) = -\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)$$f'(x) = -\frac{2}{x^{2} - 1}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x\right)^{3}$$f'(x) = \frac{3\,\ln\left(x\right)^{2}}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\ln\left(x\right)^{2}$$f'(x) = \ln\left(x\right)^{2} + 2\,\ln\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\ln\left(x\right)}{x^{2}}$$f'(x) = \frac{1 - 2\,\ln\left(x\right)}{x^{3}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{\ln\left(x\right)}$$f'(x) = \frac{1}{2\,x\,\sqrt{\ln\left(x\right)}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$f'(x) = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\tan\left(x\right)\right)$$f'(x) = \frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}\,\tan\left(x\right)}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\ln\left(3\,x\right)$$f'(x) = 2\,x\,\ln\left(3\,x\right) + x$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \log_{3}{\left(x^{2} + 1\right)}$$f'(x) = \frac{2\,x}{\ln\left(3\right)\,\left(x^{2} + 1\right)}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\mathrm{e}^{2\,x} + x\right)$$f'(x) = \frac{2\,\mathrm{e}^{2\,x} + 1}{\mathrm{e}^{2\,x} + x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(\ln\left(x\right)\right)$$f'(x) = \frac{\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{x}$$f'(x) = x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + 1\right)$vereinfacht: $f'(x) = x^{x}\,\ln\left(x\right) + x^{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\ln\left(x\right)^{2}}{x}$$f'(x) = \frac{2\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x\right)^{2}}{x^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
⚠️ Typische Fehler
- (ln(5x))' = 5/(5x) = 1/x – der Faktor kürzt sich weg.
- (ln x)² ist nicht ln(x²): die erste braucht die Kettenregel, die zweite ist 2·ln(x).
- Für log zur Basis a: log_a(x) = ln(x)/ln(a).
🖨️ Arbeitsblatt zum Ausdrucken
Alle Aufgaben dieser Seite gibt es als PDF mit Lösungsblatt. Neben jeder Aufgabe steht ihr Formel-Code – damit holst du die Aufgabe ohne Abtippen in den Rechner und kannst deine Lösung prüfen.