Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\ln\left(\tan\left(x\right)\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\tan\left(x\right)\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Kettenregel für den natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\ln({u})\big) = \frac{u'}{{u}}$$
Mit:
  • $u = \tan\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Die äußere Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des Arguments im Zähler hinzu.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\tan\left(x\right)\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}}{\tan\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Tangens Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\tan\left(x\right)=\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,}}}}{\tan\left(x\right)}$$
✨ Nach Ableitung des Tangens
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}}}{\tan\left(x\right)}$$
Schritt 3 — Doppelbruch auflösen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a/b}{c}=\frac{a}{b\cdot c},\quad \frac{a}{b/c}=\frac{a\cdot c}{b}$$

Warum dieser Schritt? Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert multiplizieren. So bleibt nur ein Bruchstrich übrig.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}}{\tan\left(x\right)}\,}}}$$
✨ Nach Doppelbruch auflösen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}\,\tan\left(x\right)}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}\,\tan\left(x\right)}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\cos\left(x\right)\ne0$ – Funktionswert und Ableitung sind an Polstellen nicht definiert.
  • $\tan\left(x\right)>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\sec\left(x\right)^{2}}{\tan\left(x\right)}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt