Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\ln\left(\sin\left(x\right)\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\ln({u})\big) = \frac{u'}{{u}}$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Die äußere Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des Arguments im Zähler hinzu.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Sinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}}{\sin\left(x\right)}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\sin\left(x\right)}$$
Endergebnis
$$\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $\sin\left(x\right)>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt