Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\tan\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Ableitung des Tangens
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\tan\left(x\right)=\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Tangens
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $\cos\left(x\right)\ne0$ – Funktionswert und Ableitung sind an Polstellen nicht definiert.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\sec\left(x\right)^{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt