Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = \cos\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$\mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 3 — Vorzeichen des Produkts bestimmen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$
Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}\,\sin\left(x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$-\mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}\,\sin\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-\mathrm{e}^{\cos\left(x\right)}\,\sin\left(x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt