Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{1}{2}\,\sin\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,\sin\left(x\right)\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Faktorregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = \frac{1}{2}$
- $u = \sin\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Sinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{1}{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{2}\,\cos\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\cos\left(x\right)}{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt