Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sin\left(x\right)^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Potenzregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,\sin\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$\sin\left(x\right)^{1} \;\Longrightarrow\; \sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)^{1}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des Sinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$2\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$2\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt