Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x\,\left(1 - x\right)^{4}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\left(1 - x\right)^{4}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \left(1 - x\right)^{4}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\left(1 - x\right)^{4}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\left(1 - x\right)^{4} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\left(1 - x\right)^{4}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(1 - x\right)^{4} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\left(1 - x\right)^{4}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\left(1 - x\right)^{4} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\left(1 - x\right)^{4}\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\left(1 - x\right)^{4} \;\Longrightarrow\; \left(1 - x\right)^{4}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\left(1 - x\right)^{4}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\left(1 - x\right)^{4}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 - x\right)^{4}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\left(1 - x\right)^{4}\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = 1 - x$
  • $c = 4$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\left(1 - x\right)^{4}\right]} \;\Longrightarrow\; 4\,\left(1 - x\right)^{4 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(1 - x\right)^{4} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(1 - x\right)^{4}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\left(1 - x\right)^{4} + x \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\left(1 - x\right)^{4 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $4 - 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(1 - x\right)^{4} + x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\left(1 - x\right)^{4} + x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]}$$
Schritt 6 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 1$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[1\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(1 - x\right)^{4} + x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 - x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\left(1 - x\right)^{4} + x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[1\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 7 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(1 - x\right)^{4} + x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\left(1 - x\right)^{4} + x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(1 - x\right)^{4} + x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\,\left(0 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\left(1 - x\right)^{4} + x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\,\left(0 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 9 — Subtraktion von 0 aus Vereinfachung
📖 Regel
$$0-a=-a$$

Warum dieser Schritt? 0 minus ein Ausdruck ist dessen Gegenzahl.

Nur der geänderte Teil: $0 - 1 \;\Longrightarrow\; -1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(1 - x\right)^{4} + x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(0 - 1\right)\,}}}$$
✨ Nach Subtraktion von 0 aus
$$\left(1 - x\right)^{4} + x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-1\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\,\left(-1\right) \;\Longrightarrow\; -x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(1 - x\right)^{4} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\,\left(-1\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\left(1 - x\right)^{4} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\right)\,}}}$$
Schritt 11 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $-x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3} \;\Longrightarrow\; -4\,x\,\left(1 - x\right)^{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(1 - x\right)^{4} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x \cdot 4\,\left(1 - x\right)^{3}\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\left(1 - x\right)^{4} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-4\,x\,\left(1 - x\right)^{3}\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 - x\right)^{4} + \left(-4\,x\,\left(1 - x\right)^{3}\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 - x\right)^{4} - 4\,x\,\left(1 - x\right)^{3}\,}}}$$
Endergebnis
$$\left(1 - x\right)^{4} - 4\,x\,\left(1 - x\right)^{3}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\left(1 - x\right)^{4} - 4\,\left(1 - x\right)^{3}\,x$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt