Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x\,\arctan\left(x^{2}\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\arctan\left(x^{2}\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \arctan\left(x^{2}\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\arctan\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x^{2}\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x^{2}\right)\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\arctan\left(x^{2}\right) \;\Longrightarrow\; \arctan\left(x^{2}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\arctan\left(x^{2}\right)\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x^{2}\right)\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\arctan\left(x^{2}\right)\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x^{2}\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des Arcustangens Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arctan\left(u\right)=\frac{1}{1 + u^{2}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x^{2}\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{1 + \left(x^{2}\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + \left(x^{2}\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Potenz einer Potenz Vereinfachung
📖 Regel
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$

Warum dieser Schritt? Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(x^{2}\right)^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2 \cdot 2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{1}{1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2}\right)^{2}\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Potenz einer Potenz
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{1}{1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2 \cdot 2}\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 6 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{1}{1 + x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 2\,}}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{1}{1 + x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 7 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{1}{1 + x^{4}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}$$
Schritt 8 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}$$
Schritt 9 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\arctan\left(x^{2}\right) + x\,\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}$$
Schritt 10 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $x\,\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; x \cdot \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\arctan\left(x^{2}\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\arctan\left(x^{2}\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,x\,}}}$$
Schritt 11 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; \frac{x \cdot 2\,x}{1 + x^{4}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\arctan\left(x^{2}\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\arctan\left(x^{2}\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x \cdot 2\,x}{1 + x^{4}}\,}}}$$
Schritt 12 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\arctan\left(x^{2}\right) + \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot 2\,x\,}}}}{1 + x^{4}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\arctan\left(x^{2}\right) + \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x\,}}}}{1 + x^{4}}$$
Schritt 13 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

Nur der geänderte Teil: $2\,x\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\arctan\left(x^{2}\right) + \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x\,}}}}{1 + x^{4}}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\arctan\left(x^{2}\right) + \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2}\,}}}}{1 + x^{4}}$$
Endergebnis
$$\arctan\left(x^{2}\right) + \frac{2\,x^{2}}{1 + x^{4}}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\arctan\left(x^{2}\right) + \frac{2\,x^{2}}{x^{4} + 1}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt