Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\cos\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \cos\left(x\right)$
  • $v = \sqrt{1 + x^{2}}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 + x^{2}}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 + x^{2}}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 + x^{2}}\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\,\sqrt{u}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 1 + x^{2}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 + x^{2}}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x^{2}\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 + x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel)
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 1$
  • $v = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1 + x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 5 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\right)$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\left(0 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\left(0 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\right)$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\left(0 + 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\left(0 + 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\right)$$
Schritt 8 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\left(0 + 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\left(0 + 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\right)$$
Schritt 9 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $0 + 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(0 + 2\,x\right)\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}$$
Schritt 10 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $\cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right) \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right) \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot 2\,x\,}}}$$
Schritt 11 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\cos\left(x\right) \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; \frac{\cos\left(x\right) \cdot 2\,x}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right) \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\cos\left(x\right) \cdot 2\,x}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,}}}$$
Schritt 12 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\cos\left(x\right) \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x\,\cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right) \cdot 2\,x\,}}}}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\cos\left(x\right)\,}}}}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}$$
Schritt 13 — Zahlen kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Zähler und Nenner enthalten einen gemeinsamen Zahlenfaktor. Wir teilen beide durch diesen Faktor.

Nur der geänderte Teil: $\frac{2\,x\,\cos\left(x\right)}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}} \;\Longrightarrow\; \frac{x\,\cos\left(x\right)}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x\,\cos\left(x\right)}{2\,\sqrt{1 + x^{2}}}\,}}}$$
✨ Nach Zahlen kürzen
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x\,\cos\left(x\right)}{\sqrt{1 + x^{2}}}\,}}}$$
Endergebnis
$$-\sin\left(x\right)\,\sqrt{1 + x^{2}} + \frac{x\,\cos\left(x\right)}{\sqrt{1 + x^{2}}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $1 + x^{2}>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{x\,\cos\left(x\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \sqrt{x^{2} + 1}\,\sin\left(x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt