Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sqrt{x}\,\sin\left(2\,x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\,\sin\left(2\,x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \sqrt{x}$
  • $v = \sin\left(2\,x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\,\sin\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,\sin\left(2\,x\right) + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Quadratwurzel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}\,\sin\left(2\,x\right) + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}\,\sin\left(2\,x\right) + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\sin\left(2\,x\right) \;\Longrightarrow\; \frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\sin\left(2\,x\right)\,}}} + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}}\,}}} + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des Sinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(u\right)=\cos\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 7 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}$$
Schritt 8 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 2\,\sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot 2\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + 2\,\sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right)$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\sin\left(2\,x\right)}{2\,\sqrt{x}} + 2\,\sqrt{x}\,\cos\left(2\,x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt