Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\sin\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\sin\left(x\right)\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Produktregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}$
- $v = \sin\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{3}$
- $v = \mathrm{e}^{-2\,x}$
Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\right)\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\left(3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = -2\,x$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[-2\,x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-2\,x}\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[-2\,x\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Faktorregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = -2$
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[-2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; -2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-2\,x\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\left(-2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\left(-2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 8 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$-2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2 \cdot 1\right)\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\right)\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 9 — Vorzeichen des Produkts bestimmen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$
Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
Nur der geänderte Teil:
$x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\left(-2\right) \;\Longrightarrow\; -x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x} \cdot 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\left(-2\right)\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x} \cdot 2\right)\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 10 — Faktoren ordnen
Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
Nur der geänderte Teil:
$-x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; -2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x} \cdot 2\right)\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right)\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 11 — Plus und Minus zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.
Nur der geänderte Teil:
$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + \left(-2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right) \;\Longrightarrow\; 3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} - 2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} + \left(-2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right)\right)\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} - 2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right)\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 12 — Ableitung des Sinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} - 2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} - 2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$\left(3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-2\,x} - 2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\right)\,\sin\left(x\right) + x^{3}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\cos\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-2\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,x^{3}\,\sin\left(x\right) + 3\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,x^{2}\,\sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\,x^{3}\,\cos\left(x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt