Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x^{3}$
  • $v = \mathrm{e}^{-x^{2}}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x^{2}}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x^{2}}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x^{2}}\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x^{2}}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x^{2}}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = -x^{2}$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x^{2}}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x^{2}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung eines negativen Terms Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\right)$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\left(-2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\left(-2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\right)$$
Schritt 8 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\left(-2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\left(-2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\right)$$
Schritt 9 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\left(-2\,x\right) \;\Longrightarrow\; -x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} \cdot 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\left(-2\,x\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} \cdot 2\,x\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $-x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; -2\,x^{3}\,x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} \cdot 2\,x\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,x^{3}\,x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)\,}}}$$
Schritt 11 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $-2\,x^{3}\,x\,\mathrm{e}^{-x^{2}} \;\Longrightarrow\; -2\,x^{3 + 1}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,x^{3}\,x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)\,}}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,x^{3 + 1}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 + 1 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + \left(-2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 + 1\,}}}}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + \left(-2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)$$
Schritt 13 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} + \left(-2\,x^{4}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} - 2\,x^{4}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,}}}$$
Endergebnis
$$3\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}} - 2\,x^{4}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$3\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,x^{2} - 2\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\,x^{4}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt