Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{-x}$
  • $v = \left(x^{2} + 1\right)^{2}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = -x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung eines negativen Terms Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-x\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}$$
Schritt 5 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right)\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} \;\Longrightarrow\; -\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right)\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}\,}}} + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}\,}}} + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}$$
Schritt 6 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = x^{2} + 1$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\left(x^{2} + 1\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + 1\right)^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(x^{2} + 1\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}$$
Schritt 8 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $\left(x^{2} + 1\right)^{1} \;\Longrightarrow\; x^{2} + 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} + 1\right)^{1}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} + 1\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}$$
Schritt 9 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 11 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)\,\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 12 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)\,\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)\,\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 13 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)\,\left(2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)\,\left(2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)$$
Schritt 14 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $2\,x + 0 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 0\right)\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}$$
Schritt 15 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right) \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 4\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,\left(x^{2} + 1\right) \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)\,x\,}}}$$
Schritt 16 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $4\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)\,x \;\Longrightarrow\; 4\,x\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)\,x\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 4\,x\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$4\,\mathrm{e}^{-x}\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 1\right)^{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt