Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x^{2}\,\cos\left(\frac{1}{x}\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = \cos\left(\frac{1}{x}\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(u\right)=-\sin\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \frac{1}{x}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 6 — Kehrwert als negative Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\frac{c}{v}=c\cdot v^{-1},\quad \frac{c}{v^k}=c\cdot v^{-k}$$

Warum dieser Schritt? Der Nenner lässt sich als Potenz mit negativem Exponenten schreiben. Danach können wir Faktor- und Potenzregel anwenden. Der ursprüngliche Nenner darf weiterhin nicht 0 sein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\left(-\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Kehrwert als negative Potenz schreiben
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\left(-\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}\,}}}\right)$$
Schritt 7 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = -1$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]} \;\Longrightarrow\; -1\,x^{-1 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\left(-\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\left(-\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-1\,x^{-1 - 1}\right)\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-1 - 1 \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\left(-\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,\left(-1\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - 1\,}}}}\right)\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{2}\,\left(-\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,\left(-1\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,}}}}\right)\right)$$
Schritt 9 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $x^{2}\,\left(-\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,\left(-1\,x^{-2}\right)\right) \;\Longrightarrow\; x^{2}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,x^{-2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,\left(-\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,\left(-1\,x^{-2}\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,x^{-2}\,}}}$$
Schritt 10 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x^{2}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,x^{-2} \;\Longrightarrow\; x^{2}\,x^{-2}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,x^{-2}\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,x^{-2}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,}}}$$
Schritt 11 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $x^{2}\,x^{-2}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right) \;\Longrightarrow\; x^{2 + \left(-2\right)}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,x^{-2}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,}}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2 + \left(-2\right)}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 + \left(-2\right) \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 + \left(-2\right)\,}}}}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)$$
Schritt 13 — Potenz mit Exponent 0 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^0=1\quad(a\ne0)$$

Warum dieser Schritt? Die Potenz mit Exponent 0 wird zu 1. Die Bedingungen der ursprünglichen Funktion gelten weiterhin.

Nur der geänderte Teil: $x^{0} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{0}\,}}}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 0
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)$$
Schritt 14 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\sin\left(\frac{1}{x}\right) \;\Longrightarrow\; \sin\left(\frac{1}{x}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$2\,x\,\cos\left(\frac{1}{x}\right) + \sin\left(\frac{1}{x}\right)$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\cos\left(\frac{1}{x}\right)\,x + \sin\left(\frac{1}{x}\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt