Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)^{2}$
  • $v = \mathrm{e}^{2\,x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\sin\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,\sin\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x\right)^{1} \;\Longrightarrow\; \sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)^{1}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$2\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 7 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 9 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + \sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}$$
Schritt 10 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 2\,\sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}}}$$
Endergebnis
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} + 2\,\sin\left(x\right)^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\sin\left(x\right)^{2} + 2\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\cos\left(x\right)\,\sin\left(x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt