Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x^{2}\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = \ln\left(\cos\left(x\right)\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right]}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right]}$$
Schritt 5 — Kettenregel für den natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\ln({u})\big) = \frac{u'}{{u}}$$
Mit:
  • $u = \cos\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Die äußere Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des Arguments im Zähler hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
$$2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 6 — Ableitung des Kosinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2} \cdot \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}}{\cos\left(x\right)}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2}\,\left(\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)}\right)$$
Schritt 7 — Vorzeichen vor den Bruch ziehen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Ein Minuszeichen im Zähler oder im Nenner kann vor den ganzen Bruch geschrieben werden. Zwei Minuszeichen heben sich auf.

Nur der geänderte Teil: $\frac{-\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)} \;\Longrightarrow\; -\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{-\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen vor den Bruch ziehen
$$2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + x^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\,}}}$$
Schritt 8 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $x^{2}\,\left(-\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right) \;\Longrightarrow\; -x^{2} \cdot \frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,\left(-\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{2} \cdot \frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\,}}}$$
Schritt 9 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $-x^{2} \cdot \frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)} \;\Longrightarrow\; -\frac{x^{2}\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{2} \cdot \frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{x^{2}\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) + \left(-\frac{x^{2}\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) - \frac{x^{2}\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\,}}}$$
Endergebnis
$$2\,x\,\ln\left(\cos\left(x\right)\right) - \frac{x^{2}\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\cos\left(x\right)>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,x\,\log\left(\cos\left(x\right)\right) - \frac{x^{2}\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt