Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)} + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)} + x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)} + x\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)} + x\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)} + x\,\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\,\cos\left(x\right)$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\,x\,\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt