Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sqrt[4]{x^{5}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[4]{x^{5}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Wurzel als Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\sqrt[n]{u}=u^{1/n}$$

Warum dieser Schritt? Wir schreiben die Wurzel als Potenz mit dem Exponenten 1/n. Hängt n von x ab, wird auch dieser Exponent mit abgeleitet. Die hier verwendete reelle Potenzdarstellung gilt im positiven Bereich.

Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[4]{x^{5}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Wurzel als Potenz schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{5}\right)^{\frac{1}{4}}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = x^{5}$
  • $c = \frac{1}{4}$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{5}\right)^{\frac{1}{4}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{4}\,\left(x^{5}\right)^{\frac{1}{4} - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{4} - 1 \;\Longrightarrow\; -\frac{3}{4}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{4}\,\left(x^{5}\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{4} - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{4}\,\left(x^{5}\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{3}{4}\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 5$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]} \;\Longrightarrow\; 5\,x^{5 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{4}\,\left(x^{5}\right)^{-\frac{3}{4}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{4}\,\left(x^{5}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,x^{5 - 1}\,}}}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $5 - 1 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{4}\,\left(x^{5}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot 5\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5 - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{4}\,\left(x^{5}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot 5\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}$$
Schritt 6 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{4}\,\left(x^{5}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot 5\,x^{4}\,}}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{4}\,\left(x^{5}\right)^{-\frac{3}{4}}\,x^{4}\,}}}$$
Schritt 7 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{4}\,\left(x^{5}\right)^{-\frac{3}{4}}\,x^{4}\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{4}\,x^{4}\,\left(x^{5}\right)^{-\frac{3}{4}}\,}}}$$
Schritt 8 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{4}\,x^{4}\,\left(x^{5}\right)^{-\frac{3}{4}}\,}}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5\,x^{4}}{4\,\left(x^{5}\right)^{\frac{3}{4}}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{5\,x^{4}}{4\,\left(x^{5}\right)^{\frac{3}{4}}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x^{5}>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{5\,x^{4}}{4\,\left(x^{5}\right)^{\frac{3}{4}}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt