Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Kehrwert als negative Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\frac{c}{v}=c\cdot v^{-1},\quad \frac{c}{v^k}=c\cdot v^{-k}$$

Warum dieser Schritt? Der Nenner lässt sich als Potenz mit negativem Exponenten schreiben. Danach können wir Faktor- und Potenzregel anwenden. Der ursprüngliche Nenner darf weiterhin nicht 0 sein.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kehrwert als negative Potenz schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2}\right)^{-\frac{1}{3}}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $c = -\frac{1}{3}$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2}\right)^{-\frac{1}{3}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{3}\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{1}{3} - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-\frac{1}{3} - 1 \;\Longrightarrow\; -\frac{4}{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{1}{3}\,\left(x^{2}\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{3} - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\frac{1}{3}\,\left(x^{2}\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{4}{3}\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{1}{3}\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{4}{3}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-\frac{1}{3}\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{4}{3}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{1}{3}\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{4}{3}} \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\frac{1}{3}\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{4}{3}} \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}$$
Schritt 6 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{1}{3}\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{4}{3}} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$-\frac{1}{3}\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{4}{3}} \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}$$
Schritt 7 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{3}\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{4}{3}} \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{3}\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{4}{3}}\,x\,}}}$$
Schritt 8 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{3}\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{4}{3}}\,x\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{3}\,x\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{4}{3}}\,}}}$$
Schritt 9 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{3}\,x\,\left(x^{2}\right)^{-\frac{4}{3}}\,}}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2\,x}{3\,\left(x^{2}\right)^{\frac{4}{3}}}\,}}}$$
Endergebnis
$$-\frac{2\,x}{3\,\left(x^{2}\right)^{\frac{4}{3}}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x^{2}>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.
  • $\sqrt[3]{x^{2}}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-\frac{2}{3\,x^{\frac{5}{3}}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt