Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$2\,\sqrt{x} - x^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[2\,\sqrt{x} - x^{2}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 2\,\sqrt{x}$
  • $v = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\sqrt{x} - x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\sqrt{x}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = \sqrt{x}$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,\sqrt{x}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\sqrt{x}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Quadratwurzel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel
$$2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 4 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \;\Longrightarrow\; \frac{2}{2\,\sqrt{x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2}{2\,\sqrt{x}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 5 — Zahlen kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Zähler und Nenner enthalten einen gemeinsamen Zahlenfaktor. Wir teilen beide durch diesen Faktor.

Nur der geänderte Teil: $\frac{2}{2\,\sqrt{x}} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\sqrt{x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2}{2\,\sqrt{x}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Zahlen kürzen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{x}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{x}} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{\sqrt{x}} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{x}} - 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{\sqrt{x}} - 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}$$
Schritt 8 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{x}} - 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{1}{\sqrt{x}} - 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{\sqrt{x}} - 2\,x$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} - 2\,x$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt