Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$4\,\sqrt[3]{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[4\,\sqrt[3]{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 4$
  • $u = \sqrt[3]{x}$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[4\,\sqrt[3]{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Wurzel als Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\sqrt[n]{u}=u^{1/n}$$

Warum dieser Schritt? Wir schreiben die Wurzel als Potenz mit dem Exponenten 1/n. Hängt n von x ab, wird auch dieser Exponent mit abgeleitet. Die hier verwendete reelle Potenzdarstellung gilt im positiven Bereich.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$4\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Wurzel als Potenz schreiben
$$4\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = \frac{1}{3}$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$4\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$4\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}\,}}}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{3} - 1 \;\Longrightarrow\; -\frac{2}{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$4\,\frac{1}{3}\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3} - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$4\,\frac{1}{3}\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{3}\,}}}}$$
Schritt 5 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 \cdot \frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}$$
Schritt 6 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $4 \cdot \frac{1}{3} \;\Longrightarrow\; \frac{4}{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 \cdot \frac{1}{3}\,}}}\,x^{-\frac{2}{3}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{4}{3}\,}}}\,x^{-\frac{2}{3}}$$
Schritt 7 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{4}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,}}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{4}{3\,x^{\frac{2}{3}}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{4}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{4}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt