Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\,\sqrt{u}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 1 + \mathrm{e}^{2\,x}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel (Kettenregel)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 1$
  • $v = \mathrm{e}^{2\,x}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1 + \mathrm{e}^{2\,x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 3 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\right)$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(0 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(0 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\right)$$
Schritt 5 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(0 + \mathrm{e}^{2\,x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(0 + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(0 + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(0 + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 7 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(0 + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(0 + \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 2\,\mathrm{e}^{2\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(0 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\left(0 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}}}\right)$$
Schritt 9 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $0 + 2\,\mathrm{e}^{2\,x} \;\Longrightarrow\; 2\,\mathrm{e}^{2\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(0 + 2\,\mathrm{e}^{2\,x}\right)\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}}}$$
Schritt 10 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}} \cdot 2\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,\mathrm{e}^{2\,x}}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,}}}$$
Schritt 11 — Zahlen kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Zähler und Nenner enthalten einen gemeinsamen Zahlenfaktor. Wir teilen beide durch diesen Faktor.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,\mathrm{e}^{2\,x}}{2\,\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,}}}$$
✨ Nach Zahlen kürzen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{\sqrt{1 + \mathrm{e}^{2\,x}}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $1 + \mathrm{e}^{2\,x}>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{\sqrt{\mathrm{e}^{2\,x} + 1}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt