Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{3}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{3}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{x} + 1$
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{3}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{3 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{x}$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\left(\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)$$
Schritt 7 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} + 0 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 0\right)\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$3\,\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt