Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e}^{x} + 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e}^{x} + 1}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Quotientenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x} - 1$
- $v = \mathrm{e}^{x} + 1$
Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e}^{x} + 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} - 1\right]}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = 1$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} - 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} - 1\right]}\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Konstantenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\left(\mathrm{e}^{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Null als Summand entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x} - 0 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\mathrm{e}^{x} - 0\right)\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = 1$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\left(\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\left(\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 11 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 12 — Konstantenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 13 — Null als Summand entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x} + 0 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 0\right)\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 14 — Ausmultiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{x} \cdot 1 - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{x} \cdot 1 - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 15 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x + x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + \mathrm{e}^{x} \cdot 1 - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x + x}\,}}} + \mathrm{e}^{x} \cdot 1 - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 16 — Gleichartige Terme zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$x + x \;\Longrightarrow\; \left(1 + 1\right)\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x + x\,}}}} + \mathrm{e}^{x} \cdot 1 - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\frac{\mathrm{e}^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,x\,}}}} + \mathrm{e}^{x} \cdot 1 - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 17 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$1 + 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,}}}\,x} + \mathrm{e}^{x} \cdot 1 - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\mathrm{e}^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\,x} + \mathrm{e}^{x} \cdot 1 - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 18 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}} - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 19 — Ausmultiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{x} + 1\,\mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{x} + 1\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 20 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x + x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + 1\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x + x}\,}}} + 1\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 21 — Gleichartige Terme zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$x + x \;\Longrightarrow\; \left(1 + 1\right)\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x + x\,}}}} + 1\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,x\,}}}} + 1\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 22 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$1 + 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,}}}\,x} + 1\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\,x} + 1\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 23 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$1\,\mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{2\,x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{2\,x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 24 — Entgegengesetzte Terme heben sich auf
Vereinfachung
📖 Regel
$$u-u=0$$
Warum dieser Schritt? Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{2\,x} + \mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Entgegengesetzte Terme heben sich auf
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 25 — Gleichartige Terme zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; \left(1 + 1\right)\,\mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 26 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$1 + 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{2\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $\mathrm{e}^{x} + 1\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1} - \frac{\left(\mathrm{e}^{x} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt