Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\arctan\left(x^{2}\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x^{2}\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Ableitung des Arcustangens Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arctan\left(u\right)=\frac{1}{1 + u^{2}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + \left(x^{2}\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenz einer Potenz Vereinfachung
📖 Regel
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$

Warum dieser Schritt? Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(x^{2}\right)^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2 \cdot 2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2}\right)^{2}\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Potenz einer Potenz
$$\frac{1}{1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2 \cdot 2}\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 2\,}}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{1 + x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{4}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}$$
Schritt 6 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}$$
Schritt 7 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x}{1 + x^{4}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{2\,x}{1 + x^{4}}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{2\,x}{x^{4} + 1}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt