Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\ln\left(x\right)}{1 + \ln\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x\right)}{1 + \ln\left(x\right)}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Quotientenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \ln\left(x\right)$
- $v = 1 + \ln\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x\right)}{1 + \ln\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,\left(1 + \ln\left(x\right)\right) - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \ln\left(x\right)\right]}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des natürlichen Logarithmus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$
Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}\,\left(1 + \ln\left(x\right)\right) - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \ln\left(x\right)\right]}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,\left(1 + \ln\left(x\right)\right) - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \ln\left(x\right)\right]}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$
Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{1}{x}\,\left(1 + \ln\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; \frac{1 + \ln\left(x\right)}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,\left(1 + \ln\left(x\right)\right)\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \ln\left(x\right)\right]}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x}\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \ln\left(x\right)\right]}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = 1$
- $v = \ln\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[1 + \ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \ln\left(x\right)\right]}\,}}}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\right)\,}}}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Konstantenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\right)}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\right)}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Ableitung des natürlichen Logarithmus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$
Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\left(0 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}\right)}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\left(0 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\right)}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Null als Summand entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
Nur der geänderte Teil:
$0 + \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(0 + \frac{1}{x}\right)\,}}}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \ln\left(x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Zu einem Bruch zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$
Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.
Nur der geänderte Teil:
$\ln\left(x\right) \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{\ln\left(x\right)}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right) \cdot \frac{1}{x}\,}}}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\ln\left(x\right)}{x}\,}}}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \frac{\ln\left(x\right)}{x}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
- $1 + \ln\left(x\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{1}{x\,\left(\log\left(x\right) + 1\right)} - \frac{\log\left(x\right)}{x\,\left(\log\left(x\right) + 1\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt