Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sin\left(x\right)^{2}\,\cos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\,\cos\left(x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)^{2}$
  • $v = \cos\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\,\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\sin\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)^{2}\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,\sin\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x\right)^{1} \;\Longrightarrow\; \sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)^{1}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$2\,\sin\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

Nur der geänderte Teil: $2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right) \;\Longrightarrow\; 2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,}}} + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2}\,}}} + \sin\left(x\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 7 — Ableitung des Kosinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 8 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x\right)^{2}\,\left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)^{2}\,\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)^{2}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)^{2}\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 9 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $-\sin\left(x\right)^{2}\,\sin\left(x\right) \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)^{2 + 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)^{2}\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)^{2 + 1}\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 + 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} + \left(-\sin\left(x\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 + 1\,}}}}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} + \left(-\sin\left(x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}}\right)$$
Schritt 11 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} + \left(-\sin\left(x\right)^{3}\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \sin\left(x\right)^{3}\,}}}$$
Endergebnis
$$2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \sin\left(x\right)^{3}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\cos\left(x\right)^{2}\,\sin\left(x\right) - \sin\left(x\right)^{3}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt