Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{-x}$
  • $v = x^{2} + 2\,x$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 2\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = -x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 2\,x\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 2\,x\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung eines negativen Terms Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-x\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 2\,x\right]}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 2\,x\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 2\,x\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 2\,x\right]}$$
Schritt 5 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right)\,\left(x^{2} + 2\,x\right) \;\Longrightarrow\; -\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right)\,\left(x^{2} + 2\,x\right)\,}}} + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 2\,x\right]}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right)\,}}} + \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 2\,x\right]}$$
Schritt 6 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 7 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\right)$$
Schritt 8 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\right)$$
Schritt 9 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\right)$$
Schritt 10 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktorregel
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
Schritt 11 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 12 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\right)$$
Schritt 13 — Ausmultiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + 2\right)\,}}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-x}\,x^{2} - \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,x + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + 2\right)\,}}}$$
Schritt 14 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $-\mathrm{e}^{-x}\,x^{2} \;\Longrightarrow\; -x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-x}\,x^{2}\,}}} - \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,x + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + 2\right)$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\,}}} - \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,x + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + 2\right)$$
Schritt 15 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x\,\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,x\,}}} + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + 2\right)$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{-x}\,}}} + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + 2\right)$$
Schritt 16 — Ausmultiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + 2\right)\,}}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,x + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,}}}$$
Schritt 17 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x\,\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,x\,}}} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{-x}\,}}} + \mathrm{e}^{-x} \cdot 2$$
Schritt 18 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{-x} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 2\,\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x} \cdot 2\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Schritt 19 — Entgegengesetzte Terme heben sich auf Vereinfachung
📖 Regel
$$u-u=0$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + 2\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
✨ Nach Entgegengesetzte Terme heben sich auf
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} + 2\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Endergebnis
$$-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} + 2\,\mathrm{e}^{-x}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x + 2\right) - \mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt