Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Durch eine Konstante teilen Umformung
📖 Regel
$$\frac{u}{c}=\frac{1}{c}\cdot u\quad(c\ne0)$$

Warum dieser Schritt? Teilen durch eine Konstante entspricht dem Multiplizieren mit ihrem Kehrwert. Wir schreiben diesen Faktor zunächst ausdrücklich hin. Erst im nächsten Schritt wenden wir die Faktorregel an.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Durch eine Konstante teilen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = \frac{1}{2}$
  • $u = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{x}$
  • $v = \mathrm{e}^{-x}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{1}{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{1}{2}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\right)$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\right)$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{1}{2}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\right)$$
Schritt 7 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = -x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Ableitung eines negativen Terms Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-x\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}\right)$$
Schritt 9 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\right)$$
Schritt 10 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right) \;\Longrightarrow\; -\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right)\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}\right)$$
Schritt 11 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} + \left(-\mathrm{e}^{-x}\right) \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\frac{1}{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{2}\,\left(\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}\right)$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt