Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Quotientenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x^{2} - 1$
- $v = x^{2} + 1$
Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]}\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = 1$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 1\right]}\,}}}\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Konstantenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\left(2\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Null als Summand entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x - 0 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x - 0\right)\,}}}\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = 1$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 11 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 12 — Konstantenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\left(2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\left(2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 13 — Null als Summand entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x + 0 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 0\right)\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 14 — Faktoren ordnen
Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
Nur der geänderte Teil:
$\left(x^{2} - 1\right) \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} - 1\right) \cdot 2\,x\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 15 — Ausmultiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right) \;\Longrightarrow\; 2\,x\,x^{2} + 2\,x \cdot 1 - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\left(x^{2} + 1\right) - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x^{2} + 2\,x \cdot 1 - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 16 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x\,x^{2} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{1 + 2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x^{2}\,}}} + 2\,x \cdot 1 - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{1 + 2}\,}}} + 2\,x \cdot 1 - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 17 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$1 + 2 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1 + 2\,}}}} + 2\,x \cdot 1 - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}} + 2\,x \cdot 1 - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 18 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{3} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x \cdot 1\,}}} - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{2\,x^{3} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}} - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 19 — Ausmultiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x^{3} + 2\,x - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right) \;\Longrightarrow\; 2\,x^{3} + 2\,x - 2\,x\,x^{2} + 2\,x \cdot 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{3} + 2\,x - 2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{3} + 2\,x - 2\,x\,x^{2} + 2\,x \cdot 1\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 20 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x\,x^{2} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{1 + 2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{3} + 2\,x - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x^{2}\,}}} + 2\,x \cdot 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$\frac{2\,x^{3} + 2\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{1 + 2}\,}}} + 2\,x \cdot 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 21 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$1 + 2 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{3} + 2\,x - 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1 + 2\,}}}} + 2\,x \cdot 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{2\,x^{3} + 2\,x - 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}} + 2\,x \cdot 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 22 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{3} + 2\,x - 2\,x^{3} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x \cdot 1\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{2\,x^{3} + 2\,x - 2\,x^{3} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 23 — Entgegengesetzte Terme heben sich auf
Vereinfachung
📖 Regel
$$u-u=0$$
Warum dieser Schritt? Derselbe Term kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Zusammen ergeben sie 0, deshalb fallen beide weg.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x^{3} + 2\,x - 2\,x^{3} + 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x + 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{3} + 2\,x - 2\,x^{3} + 2\,x\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Entgegengesetzte Terme heben sich auf
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x + 2\,x\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 24 — Gleichartige Terme zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x + 2\,x \;\Longrightarrow\; \left(2 + 2\right)\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x + 2\,x\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 + 2\right)\,x\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 25 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 + 2 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 + 2\right)\,}}}\,x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}\,x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{4\,x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $x^{2} + 1\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{2\,x}{x^{2} + 1} - \frac{2\,x\,\left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt