Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\left(x - 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\left(x - 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \left(x - 1\right)^{2}$
  • $v = \mathrm{e}^{x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x - 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x - 1\right)^{2}\right]}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = x - 1$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\left(x - 1\right)^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\left(x - 1\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x - 1\right)^{2}\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(x - 1\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(x - 1\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,\left(x - 1\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $\left(x - 1\right)^{1} \;\Longrightarrow\; x - 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x - 1\right)^{1}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x - 1\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 5 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(x - 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$2\,\left(x - 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(x - 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$2\,\left(x - 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 7 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(x - 1\right)\,\left(1 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$2\,\left(x - 1\right)\,\left(1 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 8 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $1 - 0 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(x - 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 - 0\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$2\,\left(x - 1\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 9 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2\,\left(x - 1\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2\,\left(x - 1\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(x - 1\right) \cdot 1\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(x - 1\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 10 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(x - 1\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$2\,\left(x - 1\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 11 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(x - 1\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$2\,\left(x - 1\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 12 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\left(x - 1\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$2\,\left(x - 1\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}$$
Schritt 13 — Ausmultiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(x - 1\right)\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{x} - 2 \cdot 1\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}$$
Schritt 14 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x}$$
Endergebnis
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x} - 2\,\mathrm{e}^{x} + \left(x - 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\mathrm{e}^{x}\,\left(x - 1\right) + \mathrm{e}^{x}\,\left(x - 1\right)^{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt