Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-x}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Kehrwert als negative Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\frac{c}{v}=c\cdot v^{-1},\quad \frac{c}{v^k}=c\cdot v^{-k}$$

Warum dieser Schritt? Der Nenner lässt sich als Potenz mit negativem Exponenten schreiben. Danach können wir Faktor- und Potenzregel anwenden. Der ursprüngliche Nenner darf weiterhin nicht 0 sein.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kehrwert als negative Potenz schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-1}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = 1 + \mathrm{e}^{-x}$
  • $c = -1$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-1 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-1 - 1 \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 1$
  • $v = \mathrm{e}^{-x}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1 + \mathrm{e}^{-x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 5 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\right)$$
✨ Nach Konstantenregel
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\right)$$
Schritt 6 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = -x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\left(0 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\left(0 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}\right)$$
Schritt 7 — Ableitung eines negativen Terms Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-x\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\left(0 + \mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\left(0 + \mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\left(0 + \mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\left(0 + \mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\right)$$
Schritt 9 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right) \;\Longrightarrow\; -\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\left(0 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right)\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\left(0 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}\right)$$
Schritt 10 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $0 + \left(-\mathrm{e}^{-x}\right) \;\Longrightarrow\; -\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(0 + \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}$$
Schritt 11 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Schritt 12 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{-2}\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $1 + \mathrm{e}^{-x}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\left(\mathrm{e}^{-x} + 1\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt