Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{1}{x^{2}\,\sqrt{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{2}\,\sqrt{x}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Kehrwert als negative Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\frac{c}{v}=c\cdot v^{-1},\quad \frac{c}{v^k}=c\cdot v^{-k}$$

Warum dieser Schritt? Der Nenner lässt sich als Potenz mit negativem Exponenten schreiben. Danach können wir Faktor- und Potenzregel anwenden. Der ursprüngliche Nenner darf weiterhin nicht 0 sein.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{2}\,\sqrt{x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kehrwert als negative Potenz schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2}\,\sqrt{x}\right)^{-1}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = x^{2}\,\sqrt{x}$
  • $c = -1$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2}\,\sqrt{x}\right)^{-1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,\left(x^{2}\,\sqrt{x}\right)^{-1 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 3 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $x^{2}\,\sqrt{x} \;\Longrightarrow\; x^{2 + \frac{1}{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2}\,\sqrt{x}\right)\,}}}^{-1 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$-1\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2 + \frac{1}{2}}\right)\,}}}^{-1 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 + \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \frac{5}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 + \frac{1}{2}\,}}}}\right)^{-1 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-1\,\left(x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{2}\,}}}}\right)^{-1 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-1 - 1 \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(x^{\frac{5}{2}}\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-1\,\left(x^{\frac{5}{2}}\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 6 — Potenz einer Potenz Vereinfachung
📖 Regel
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$

Warum dieser Schritt? Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(x^{\frac{5}{2}}\right)^{-2} \;\Longrightarrow\; x^{\frac{5}{2}\,\left(-2\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{\frac{5}{2}}\right)^{-2}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Potenz einer Potenz
$$-1\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{\frac{5}{2}\,\left(-2\right)}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{5}{2}\,\left(-2\right) \;\Longrightarrow\; -5$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{2}\,\left(-2\right)\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-1\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-5\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 8 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = \sqrt{x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\sqrt{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$-1\,x^{-5}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\sqrt{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 9 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\sqrt{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-1\,x^{-5}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\sqrt{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\right)$$
Schritt 10 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\sqrt{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\sqrt{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\right)$$
Schritt 11 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\sqrt{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\sqrt{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\right)$$
Schritt 12 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $2\,x\,\sqrt{x} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{1 + \frac{1}{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\sqrt{x}\,}}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\right)$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$-1\,x^{-5}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{1 + \frac{1}{2}}\,}}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\right)$$
Schritt 13 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $1 + \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \frac{3}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1 + \frac{1}{2}\,}}}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{3}{2}\,}}}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\right)$$
Schritt 14 — Ableitung der Quadratwurzel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\frac{3}{2}} + x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\frac{3}{2}} + x^{2} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}\right)$$
Schritt 15 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x^{2} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{2\,\sqrt{x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\frac{3}{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}\right)$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\frac{3}{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2}}{2\,\sqrt{x}}\,}}}\right)$$
Schritt 16 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{x^{2}}{2\,\sqrt{x}} \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2 - \frac{1}{2}}}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\frac{3}{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2}}{2\,\sqrt{x}}\,}}}\right)$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\frac{3}{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2 - \frac{1}{2}}}{2}\,}}}\right)$$
Schritt 17 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \frac{3}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - \frac{1}{2}\,}}}}}{2}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-1\,x^{-5}\,\left(2\,x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{3}{2}\,}}}}}{2}\right)$$
Schritt 18 — Gleichartige Terme zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.

Nur der geänderte Teil: $2\,x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \;\Longrightarrow\; \left(2 + \frac{1}{2}\right)\,x^{\frac{3}{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}\right)\,}}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$-1\,x^{-5}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 + \frac{1}{2}\right)\,x^{\frac{3}{2}}\,}}}$$
Schritt 19 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 + \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \frac{5}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,x^{-5}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 + \frac{1}{2}\right)\,}}}\,x^{\frac{3}{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-1\,x^{-5}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{2}\,}}}\,x^{\frac{3}{2}}$$
Schritt 20 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,x^{-5}\,\frac{5}{2}\,x^{\frac{3}{2}}\,}}}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{-5} \cdot \frac{5}{2}\,x^{\frac{3}{2}}\,}}}$$
Schritt 21 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{-5} \cdot \frac{5}{2}\,x^{\frac{3}{2}}\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{5}{2}\,x^{-5}\,x^{\frac{3}{2}}\,}}}$$
Schritt 22 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{5}{2}\,x^{-5}\,x^{\frac{3}{2}}\,}}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{5}{2}\,x^{-5 + \frac{3}{2}}\,}}}$$
Schritt 23 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-5 + \frac{3}{2} \;\Longrightarrow\; -\frac{7}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{5}{2}\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-5 + \frac{3}{2}\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\frac{5}{2}\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{7}{2}\,}}}}$$
Schritt 24 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{5}{2}\,x^{-\frac{7}{2}}\,}}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{5}{2\,x^{\frac{7}{2}}}\,}}}$$
Endergebnis
$$-\frac{5}{2\,x^{\frac{7}{2}}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.
  • $x^{2}\,\sqrt{x}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-\frac{5}{2\,x^{\frac{7}{2}}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt