Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$5\,\tan\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[5\,\tan\left(x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 5$
  • $u = \tan\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5\,\tan\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Tangens Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\tan\left(x\right)=\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Tangens
$$5 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5 \cdot \frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{5}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{5}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\cos\left(x\right)\ne0$ – Funktionswert und Ableitung sind an Polstellen nicht definiert.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$5\,\sec\left(x\right)^{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt