Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\cos\left(\ln\left(x^{2}\right)\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\ln\left(x^{2}\right)\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(u\right)=-\sin\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x^{2}\right)$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\ln\left(x^{2}\right)\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel für den natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\ln({u})\big) = \frac{u'}{{u}}$$
Mit:
  • $u = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Die äußere Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des Arguments im Zähler hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x^{2}\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{2}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}}{x^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}}{x^{2}}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}}{x^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}}{x^{2}}$$
Schritt 5 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}}{x^{2}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}}{x^{2}}$$
Schritt 6 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{2\,x}{x^{2}} \;\Longrightarrow\; \frac{2}{x^{2 - 1}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x}{x^{2}}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2}{x^{2 - 1}}\,}}}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{2}{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{2}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}}$$
Schritt 8 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{2}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{2}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}}$$
Schritt 9 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{2}{x}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot 2}{x}\,}}}$$
Schritt 10 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 2\,\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right) \cdot 2\,}}}}{x}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$-\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right)\,}}}}{x}$$
Endergebnis
$$-\frac{2\,\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right)}{x}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x^{2}>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-\frac{2\,\sin\left(\log\left(x^{2}\right)\right)}{x}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt