Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\cos\left(x\right)}{1 + \sin\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\cos\left(x\right)}{1 + \sin\left(x\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \cos\left(x\right)$
  • $v = 1 + \sin\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\cos\left(x\right)}{1 + \sin\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \sin\left(x\right)\right]}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \sin\left(x\right)\right]}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \sin\left(x\right)\right]}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 1$
  • $v = \sin\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1 + \sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1 + \sin\left(x\right)\right]}\,}}}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[1\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)\,}}}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\right)}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)\,\left(0 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\right)}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)\,\left(0 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\right)}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $0 + \cos\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(0 + \cos\left(x\right)\right)\,}}}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

Nur der geänderte Teil: $\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\frac{-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{2}\,}}}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Ausmultiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.

Nur der geänderte Teil: $-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)^{2} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right) \cdot 1 - \sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right) - \cos\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,\left(1 + \sin\left(x\right)\right) - \cos\left(x\right)^{2}\,}}}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right) \cdot 1 - \sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right) - \cos\left(x\right)^{2}\,}}}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right) \cdot 1\,}}} - \sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right) - \cos\left(x\right)^{2}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,}}} - \sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right) - \cos\left(x\right)^{2}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \sin\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(x\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\,}}} - \cos\left(x\right)^{2}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\frac{-\sin\left(x\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)^{2}\,}}} - \cos\left(x\right)^{2}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{-\sin\left(x\right) - \sin\left(x\right)^{2} - \cos\left(x\right)^{2}}{\left(1 + \sin\left(x\right)\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $1 + \sin\left(x\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-\frac{\sin\left(x\right)}{\sin\left(x\right) + 1} - \frac{\cos\left(x\right)^{2}}{\left(\sin\left(x\right) + 1\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt