Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = -\frac{x^{2}}{2}$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[-\frac{x^{2}}{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung eines negativen Terms Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
  • $u = \frac{x^{2}}{2}$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-\frac{x^{2}}{2}\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2}}{2}\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-\frac{x^{2}}{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2}}{2}\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 3 — Durch eine Konstante teilen Umformung
📖 Regel
$$\frac{u}{c}=\frac{1}{c}\cdot u\quad(c\ne0)$$

Warum dieser Schritt? Teilen durch eine Konstante entspricht dem Multiplizieren mit ihrem Kehrwert. Wir schreiben diesen Faktor zunächst ausdrücklich hin. Erst im nächsten Schritt wenden wir die Faktorregel an.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2}}{2}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x^{2}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2}}{2}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Durch eine Konstante teilen
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x^{2}\right]}\,}}}\right)$$
Schritt 4 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = \frac{1}{2}$
  • $u = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x^{2}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktorregel
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\right)$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\left(-\frac{1}{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\left(-\frac{1}{2} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\right)$$
Schritt 6 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\left(-\frac{1}{2} \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\left(-\frac{1}{2} \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\right)$$
Schritt 7 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\left(-\frac{1}{2} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\left(-\frac{1}{2} \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,\left(-\frac{1}{2} \cdot 2\,x\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\,x\,}}}$$
Schritt 9 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,x\,}}}$$
Schritt 10 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,x\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,}}}$$
Endergebnis
$$-x\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,x$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt