Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$
  • $v = \sin\left(2\,x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\right]}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = -\frac{x}{2}$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[-\frac{x}{2}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\right]}\,}}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[-\frac{x}{2}\right]}\,}}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung eines negativen Terms Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
  • $u = \frac{x}{2}$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-\frac{x}{2}\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{2}\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-\frac{x}{2}\right]}\,}}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{2}\right]}\right)\,}}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Durch eine Konstante teilen Umformung
📖 Regel
$$\frac{u}{c}=\frac{1}{c}\cdot u\quad(c\ne0)$$

Warum dieser Schritt? Teilen durch eine Konstante entspricht dem Multiplizieren mit ihrem Kehrwert. Wir schreiben diesen Faktor zunächst ausdrücklich hin. Erst im nächsten Schritt wenden wir die Faktorregel an.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{2}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{2}\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Durch eine Konstante teilen
$$\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = \frac{1}{2}$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{2}\,x\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\left(-\frac{1}{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\left(-\frac{1}{2} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 7 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{2} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2} \cdot 1\,}}}\right)\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2}\,}}}\right)\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 8 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\left(-\frac{1}{2}\right)\,\sin\left(2\,x\right) \;\Longrightarrow\; -\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2}\,\sin\left(2\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\left(-\frac{1}{2}\right)\,\sin\left(2\,x\right)\,}}} + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2}\,\sin\left(2\,x\right)\,}}} + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 9 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $-\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2}\,\sin\left(2\,x\right) \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2}\,\sin\left(2\,x\right)\,}}} + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right)\,}}} + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 10 — Ableitung des Sinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(u\right)=\cos\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 11 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 12 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 13 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}$$
Schritt 14 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 2\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right) \cdot 2\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right) + 2\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right)$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\cos\left(2\,x\right) - \frac{\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\,\sin\left(2\,x\right)}{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt