Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right)\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Produktregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x^{2}}$
- $v = \cos\left(x^{2}\right)$
Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}\,}}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}$$
Schritt 5 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}$$
Schritt 6 — Faktoren ordnen
Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,x\,\cos\left(x^{2}\right) \;\Longrightarrow\; 2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,}}} + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right)\,}}} + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}$$
Schritt 7 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(u\right)=-\sin\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 8 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\left(-\sin\left(x^{2}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\left(-\sin\left(x^{2}\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\right)$$
Schritt 9 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\left(-\sin\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\left(-\sin\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\right)$$
Schritt 10 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\left(-\sin\left(x^{2}\right) \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\right)$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{x^{2}}\,\left(-\sin\left(x^{2}\right) \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\right)$$
Schritt 11 — Vorzeichen des Produkts bestimmen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$
Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x^{2}}\,\left(-\sin\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x\right) \;\Longrightarrow\; -\mathrm{e}^{x^{2}}\,\sin\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\left(-\sin\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\mathrm{e}^{x^{2}}\,\sin\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Faktoren ordnen
Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
Nur der geänderte Teil:
$-\mathrm{e}^{x^{2}}\,\sin\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; -2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\sin\left(x^{2}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\mathrm{e}^{x^{2}}\,\sin\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\sin\left(x^{2}\right)\right)\,}}}$$
Schritt 13 — Plus und Minus zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) + \left(-2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\sin\left(x^{2}\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) - 2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\sin\left(x^{2}\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\cos\left(x^{2}\right) - 2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\sin\left(x^{2}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$2\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,x\,\cos\left(x^{2}\right) - 2\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,x\,\sin\left(x^{2}\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt